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\newtheorem{definition}{Definition}[section]%定义
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]%定理
\newtheorem{axiom}{Axiom}[section]%公理
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]%引理
\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]%命题
\newtheorem{corollary}{Corollary}[section]%推论
\newtheorem{remark}{Remark}[section]%注


\title{\heiti\zihao{2} 习题1.4}
\author{20373963-樊若宸}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\section{已知 $P(A)=\dfrac{1}{4}, P(B | A)=\dfrac{1}{3}, P(A | B)=\dfrac{1}{2}$, 求: $P(B), P(A \cup B)$ 和 $P(A \bar{B})$.}

\textbf{解:}\quad 
$$
P(AB) = P(A)P(B|A) = \dfrac{1}{12},\quad P(B) = \dfrac{P(AB)}{P(A|B)} = \dfrac{1}{6}
$$

从而

$$
P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(AB)=\dfrac{1}{3},\quad P(A\bar{B}) = P(A) - P(AB) = \dfrac{1}{6}
$$

\section{掷一颗骰子两次, 以 $x$ 和 $y$ 分别表示先后掷出的点数, 记 $A=\{x+y<10\}$, $B=\{x>y\}$, 求: $P(B | A)$ 和 $P(A | B)$.}
\textbf{解:}\quad 

(1)$P(B|A)$:

样本空间为$\Omega = A$, 而$\mathrm{card}A = 30$(考虑顺序, 因为要保证基本事件得概率相等).而在$A$的条件下发生$B$ 的事件数为:$\mathrm{card}B=(30-4)/2=13$(减去相等的情况数除以2),从而
$$
P(B|A) = \dfrac{13}{30}
$$

(2)$P(A|B)$:

样本空间为$\Omega = B$, 而$\mathrm{card}B = (36 - 6) / 2=15$.在$B$发生的条件下发生$A$的事件数为$13$,从而

$$
P(A|B) = \dfrac{13}{15}
$$






\end{document}